اگر 3عضو از مجموعه ی متناهی A کم کنیم ، تعداد زیر مجموعه های ان 224 واحد کاهش می یابد، تعیین کنید A چند عضو دارد.

برای تعیین تعداد اعضای مجموعه \(A\) با توجه به اطلاعات ارائه‌شده، ابتدا باید به فرمول تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه بپردازیم. اگر تعداد اعضای مجموعه \(A\) را \(n\) در نظر بگیریم، تعداد زیرمجموعه‌های آن به صورت زیر محاسبه می‌شود: \[ 2^n \] این فرمول به این دلیل است که برای هر عضو، دو گزینه وجود دارد: شامل شدن در زیرمجموعه یا شامل نشدن. اگر 3 عضو از مجموعه \(A\) کم کنیم، تعداد اعضای جدید مجموعه \(A\) برابر \(n-3\) خواهد بود و تعداد زیرمجموعه‌های جدید به صورت زیر محاسبه می‌شود: \[ 2^{n-3} \] طبق مسئله، تعداد زیرمجموعه‌های اصلی نسبت به زیرمجموعه‌های جدید 224 واحد کاهش یافته است: \[ 2^n - 2^{n-3} = 224 \] حال، می‌توانیم \(2^{n-3}\) را از سمت راست معادله جدا کنیم: \[ 2^n - 2^{n-3} = 224 \] به عبارت دیگر: \[ 2^{n-3} (2^3 - 1) = 224 \] که با توجه به اینکه \(2^3 = 8\) داریم: \[ 2^{n-3} \cdot 7 = 224 \] حالا می‌توانیم این معادله را حل کنیم: \[ 2^{n-3} = \frac{224}{7} \] که برابر است با: \[ 2^{n-3} = 32 \] حال می‌دانیم که: \[ 32 = 2^5 \] بنابراین داریم: \[ n - 3 = 5 \implies n = 5 + 3 = 8 \] در نتیجه، تعداد اعضای مجموعه \(A\) برابر با \(8\) است. پاسخ نهایی: \(A\) 8 عضو دارد.